IA da OpenAI resolve problema de geometria formulado por Paul Erdős há quase 80 anos

Um sistema de raciocínio geral desenvolvido pela OpenAI resolveu o problema das distâncias unitárias, uma conjectura de geometria discreta formulada por Paul Erdős em 1946 que permaneceu sem resposta por quase 80 anos. A questão central consistia em determinar quantos pares de pontos, ao serem posicionados em um plano, poderiam estar exatamente a uma distância de 1.

Até então, a crença predominante na matemática era de que configurações baseadas em grades quadradas eram praticamente ótimas para maximizar essas distâncias. Erdős havia conjecturado que o número máximo de pares a uma distância de 1 não cresceria significativamente além de $n$ elevado a 1, acrescido de um termo que tende a zero. No entanto, o modelo de IA refutou essa intuição ao construir, para valores infinitos de $n$, configurações que apresentam pelo menos $n$ elevado a $1+\delta$ pares unitários, com um expoente positivo fixo.

Embora a versão inicial do sistema não tenha fornecido um valor explícito para $\delta$, uma aprimoração posterior, atribuída ao professor Will Sawin, de Princeton, definiu $\delta = 0,014$. Essa precisão técnica é fundamental, pois caracteriza a melhoria como polinômica, superando a vantagem marginal observada em construções anteriores, onde pontos em linha geravam crescimento linear e grades forneciam cerca de dois pares por ponto.

A solução foi alcançada conectando a geometria elementar à teoria algébrica dos números. O processo envolveu a utilização de conceitos complexos, como corpos de números algébricos, inteiros gaussianos, a teoria de Golod-Shafarevich e torres infinitas de corpos de classes. Essa abordagem estabeleceu um vínculo inédito entre a geometria discreta e a teoria dos números, áreas que não eram vistas como convergentes dessa maneira.

O resultado causou impacto na comunidade acadêmica. O matemático Noga Alon destacou a surpresa diante da refutação de um dos problemas favoritos de Erdős, enquanto Tim Gowers, medalhista do Fields, classificou a descoberta como um marco nas matemáticas da IA. Para Arul Shankar, o episódio prova que modelos atuais conseguem desenvolver e executar ideias originais, transcendendo a função de meros auxiliares humanos.

Apesar da autonomia do sistema em sustentar argumentos longos e combinar ferramentas distintas, o papel dos especialistas humanos permanece central na verificação e interpretação do alcance do resultado. A resolução da conjectura de Erdős sinaliza uma nova etapa na ciência, onde sistemas de raciocínio avançado podem explorar caminhos complexos e propor soluções para problemas abertos e verificáveis.